Ottica

APPUNTI DI OTTICA GEOMETRICA

1. LA LUCE
2. LA VELOCITA' DELLA LUCE
3. LA RIFLESSIONE DELLA LUCE
4. LA RIFRAZIONE DELLA LUCE
5. LA DISPERSIONE DELLA LUCE
6. L'ARCOBALENO

1. LA LUCE
Che cos'è la luce?
Prima di tutto, la luce è un fenomeno fisico. Noi vediamo perché
a) alcuni oggetti emettono luce
b) altri oggetti rimandano (in vario modo) la luce che ricevono
c) parte di questa luce arriva agli occhi, che nella retina contengono rivelatori i quali trasmettono segnali nervosi al cervello
d) il cervello interpreta questi segnali…..
Si può capire facilmente quindi come la visione sia un meccanismo estremamente complesso, al quale partecipano quattro giocatori: sorgente, oggetto, occhio e cervello. Solo i primi due, e in parte il terzo, sono di competenza del fisico, ma si deve tenere a mente il ruolo che gioca il cervello nell'interpretazione dei segnali luminosi che raggiungono la retina.
Ma di che cosa é fatta la luce? Nella seconda metà dell'Ottocento si è stabilito che la luce è un insieme di particolari onde, le onde elettromagnetiche, che si propagano anche nel vuoto. La teoria elettromagnetica della luce consente di spiegare gran parte dei fenomeni ottici. Molti di essi, però, possono essere spiegati con la più semplice teoria dell'ottica geometrica.
Secondo l'ottica geometrica la luce può essere pensata come un fascio composto da più raggi di luce. L'idea alla base di questa teoria è che la luce si propaghi nello spazio in modo rettilineo.
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La prova più diretta della propagazione rettilinea della luce sono le ombre. A differenza del suono che è in grado di scavalcare ostacoli, ragione per cui siamo in grado di percepire un'onda sonora pur non vedendone la sorgente, la luce interrompe il suo percorso di fronte a un ostacolo cosicché il nostro occhio percepisce l'interruzione della propagazione e vede ciò che noi chiamiamo ombra.
2. VELOCITA' DELLA LUCE
Nelle esperienze quotidiane non è di fatto possibile rilevare il ritardo tra l'istante in cui la luce viene emessa e l'istante in cui giunge all'osservatore. Questo porterebbe erroneamente a concludere che la luce debba viaggiare a velocità infinita.
Si deve a Galileo il primo tentativo di determinare la velocità della luce mediante la misura del tempo da essa impiegato per coprire una distanza nota. Posti a circa 2 km, Galileo e un suo assistente si lanciano segnali luminosi mediante due lanterne. Galileo scopre per primo una lanterna e l'assistente scopre la sua non appena vede la luce inviata. Galileo misura l'intervallo di tempo trascorso tra l'invio e la ricezione della luce e nota che coincide in pratica con il tempo di reazione degli sperimentatori. Galileo conclude quindi che la velocità della luce è infinita oppure, osservazione ancora più importante, è troppo elevata per poter essere misurata con questo metodo.
Poiché la velocità della luce è molto elevata, per misurare ritardi apprezzabili tra l'emissione e la ricezione di un segnale luminoso sono necessarie distanze molto grandi.
Infatti la prima misura corretta della velocità della luce è stata ottenuta con metodi astronomici dal danese Ole Roemer (1676). Misurando il periodo con cui Giove occulta il suo satellite Io, gli astronomi avevano osservato che questo periodo è maggiore quando la Terra si allontana da Giove (tratto ABC in figura) e minore quando la Terra si avvicina (tratto CDA).
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Roemer comprende che questa differenza è dovuta al fatto che la luce si propaga con velocità finita. Se la distanza che separa Terra e Giove non cambiasse, si vedrebbe la fine delle eclissi ogni 42,5 ore. Ma in questo periodo di tempo la Terra si sposta lungo la sua orbita e man mano che si allontana da Giove il periodo delle eclissi aumenta: infatti la luce emessa da Io alla fine di un'eclissi deve compiere una distanza maggiore rispetto alla luce emessa alla fine dell'eclissi precedente. Roemer intuisce che il ritardo accumulato dalle eclissi quando la Terra passa dal punto A, più vicino a Giove, al punto C, più lontano, è dovuto al tempo che la luce impiega a coprire una distanza uguale al diametro dell'orbita terrestre. Con i dati a disposizione di Roemer si stima che la velocità della luce sia circa 2·108 m/s, valore del 30% circa inferiore a quello reale.
La prima misura accurata della velocità della luce fu realizzata nel 1849 dal francese Fizeau.
Il principio dell'esperimento di Fizeau è analogo a quello di Galileo: misurare il tempo che la luce impiega a percorrere una distanza nota. Fizeau utilizza, come sorgente, l'intensa luce di una lampada che invia a uno specchio posto a 8,63 km di distanza. Per misurare il tempo di andata e ritorno della luce, Fizeau ricorre a un ingegnoso accorgimento: fa passare la luce attraverso le fenditure di una ruota dentata posta in rotazione. Quando la ruota è ferma o gira a bassa velocità angolare, la luce riesce a passare nella stessa fenditura all'andata e al ritorno. Fizeau aumenta la velocità angolare della ruota dentata fino a quando il segnale di ritorno si estingue: ciò accade quando il tempo di volo della luce è uguale all'intervallo di tempo con cui un dente della ruota si sostituisce alla fenditura precedente. Misurando la velocità angolare alla quale avviene questa estinzione e conoscendo il numero di denti della ruota, Fizeau è in grado di calcolare il tempo impiegato dalla luce per coprire la distanza sorgente-specchio-osservatore e quindi la velocità della luce per la quale stima un valore di 3,13·108 m/s, molto vicino al valore noto attualmente che è di 3,00·108 m/s.
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In particolare, detto Δt il tempo andata e ritorno percorso dalla luce tra i due specchi si ha che Δt=2d/c dove si è indicata con d la distanza tra i due specchi e con c la velocità della luce. In questo tempo la ruota deve percorrere un tratto dente-fenditura quindi Δt=[(2πR)/2n]/2ω dove R è il raggio della ruota, n il numero di denti e ω la velocità angolare. Uguagliando i due tempi e semplificando si ottiene la seguente espressione per la velocità della luce c=(2dnω)/π.
3. RIFLESSIONE DELLA LUCE
I raggi luminosi si riflettono sulle superfici dei corpi dando luogo a diversi fenomeni a seconda che la superficie sulla quale la luce si riflette sia liscia o scabra.
Consideriamo in generale un raggio di luce che incide su una superficie riflettente.
Legge della riflessione: Quando un raggio luminoso incide su una superficie riflettente il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie incidente nel punto di incidenza giacciono nello stesso piano. L'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione (i=r).
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Di conseguenza ogni singolo raggio incidente dà luogo a un raggio riflesso secondo quanto stabilisce la legge della riflessione. Però l'effetto complessivo della riflessione dipende dalle caratteristiche della superficie riflettente.
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Nel caso di superficie liscia si ha riflessione speculare: infatti i raggi riflessi sono paralleli tra loro. Questo accade negli specchi piani per i quali la superficie riflettente è una sottilissima superficie metallica depositata su una lastra di vetro.
Solo alcuni raggi riflessi raggiungono l'occhio dell'osservatore al quale l'immagine della sorgente sembra provenire da oltre lo specchio. L'osservatore vede l'immagine della sorgente nel punto in cui si congiungono i prolungamenti geometrici di tutti i raggi riflessi che hanno raggiunto il suo occhio. L'immagine della sorgente che si forma oltre lo specchio non è reale ma è virtuale.
In generale un'immagine è virtuale quando i raggi luminosi che sembrano provenire da essa sono in realtà prolungamenti geometrici di raggi riflessi. In generale possiamo dire che l'immagine di una sorgente prodotta da uno specchio piano:
 è virtuale
 è diritta
 ha le stesse dimensioni della sorgente
 ha, virtualmente, la stessa distanza dallo specchio della sorgente
Osservando la seguente figura si può facilmente dimostrare che l'immagine virtuale e la sorgente hanno la stessa distanza dallo specchio e quindi in particolare che le distanze AC e CB sono uguali (questo è dovuto all'uguaglianza tra i due triangoli ADC e DCB).
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Se la superficie sulla quale si riflettono i raggi incidenti è invece scabra si parla di riflessione diffusa. In questo caso i raggi sono tutti riflessi in direzioni diverse. Questo tipo di superficie non si comporta evidentemente da specchio.
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4. RIFRAZIONE DELLA LUCE
Quando un raggio di luce incide sulla superficie di separazione di due mezzi trasparenti come ad esempio l'aria e il vetro oppure l'aria e l'acqua, si divide in due raggi:
 un raggio riflesso nel mezzo da cui proviene il raggio incidente e per il quale vale la legge della riflessione
 un raggio trasmesso, detto raggio rifratto, che attraversa la superficie di separazione e si propaga nel secondo mezzo
Quando il raggio incidente è perpendicolare alla superficie nel punto di incidenza, il raggio rifratto si propaga nella stessa direzione del raggio incidente. In tutti gli altri casi il raggio rifratto devia dalla direzione del raggio incidente: questa deviazione è detta rifrazione. Si definisce angolo di rifrazione l'angolo formato dal raggio rifratto con la normale alla superficie di separazione nel punto di incidenza.
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Nella figura a fianco n1 e n2 sono i cosiddetti indici di rifrazione del mezzo di trasmissione. L'indice di rifrazione è un numero puro che indica il rapporto tra la velocità di trasmissione della luce nel vuoto e quella nel mezzo, ovvero n=c/v.
Ad esempio l'aria ha un indice di rifrazione sostanzialmente uguale a quello del vuoto, cioè a 1. Altri esempio sono:
n (acqua) = 1,33
n (alcol) = 1,36
n (vetro) variabile da 1,5 a 1,7 a seconda del tipo di vetro.
Esiste una relazione matematica tra angolo di incidenza (θ1) e angolo di rifrazione (θ2) nota come legge di Snell: n1 x sin(θ1)=n2 x sin(θ2)
Si devono considerare in particolare due casi:
1) Il primo nel quale l'indice di rifrazione n1 è minore dell'indice di rifrazione n2 (esempio rifrazione aria-acqua). In tal caso l'angolo di incidenza θ1 sarà maggiore dell'angolo di rifrazione θ2.
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2) Il secondo nel quale l'indice di rifrazione n1 è maggiore dell'indice di rifrazione n2 (esempio rifrazione aria-acqua). In tal caso l'angolo di incidenza θ1 sarà minore dell'angolo di rifrazione θ2.
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Si possono osservare vari fenomeni legati alla rifrazione della luce. Quello più comune, che si riferisce al primo caso trattato, fa sì che un oggetto parzialmente immerso in acqua appaia spezzato a livello della superficie nel caso in cui sia inclinato rispetto ad essa.
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Un altro fenomeno, che si riferisce al secondo caso trattato, è quello della cosiddetta RIFLESSIONE TOTALE. Nel caso in cui l'indice di rifrazione del raggio incidente (n1) è maggiore dell'indice di rifrazione del raggio rifratto (n2), per angoli di incidenza superiori a un particolare angolo detto angolo limite (θL) avremo la mancanza del raggio rifratto.
Questo appare abbastanza evidente se consideriamo la legge di Snell: n1 x sin(θ1)=n2 x sin(θ2)
Se n1>n2 allora esisterà un valore θL per cui θ2 diventerà uguale a 90°. Questo valore è uguale a θL=arcsin(n2/n1)
(N.B. Questa espressione ha significato solo per n2<n1). Per angoli superiori a quello indicato l'angolo di rifrazione θ2 non esisterà e quindi mancherà il raggio rifratto.
La riflessione totale spiega in maniera chiara per quale motivo l'acqua del mare (o di un lago) in lontananza non appare trasparente come invece avviene per l'acqua contenuta in una bottiglia o in un bicchiere. Come si vede dalla figura sottostante la luce proveniente da sotto la superficie del mare in lontananza non è in grado di uscire dato che incide sulla superficie di separazione acqua-aria con un angolo sicuramente superiore all'angolo limite. Di conseguenza il mare, in lontananza, si comporterà come una superficie riflettente e apparirà blu per la riflessione del cielo.
In realtà la superficie del mare appare di colore azzurro/blu e quindi semitrasparente anche per angoli inferiori all'angolo limite. Questo non è spiegabile tuttavia con le leggi dell'ottica geometrica ma con quelle dell'ottica fisica (effetto Raman) secondo le quali l'acqua a grandi profondità riesce a far passare solamente le onde elettromagnetiche di bassa lunghezza d'onda (azzurro/blu), bloccando invece quelle di alta lunghezza d'onda (giallo/rosso).
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5. LA DISPERSIONE DELLA LUCE
La dispersione della luce è un effetto secondario della rifrazione dipendente dal fatto che l'indice di rifrazione di un materiale dipende dalla lunghezza d'onda della luce che attraversa il materiale. In altre parole luce rossa e luce blu (ad esempio) hanno indici di rifrazioni diversi quando attraversano un mezzo trasparente.
Considerando la legge di Snell sulla rifrazione è immediato quindi verificare come la luce bianca (composta da tutte le lunghezze d'onda della banda del visibile) si suddivida nei vari colori quando attraversa un mezzo trasparente diverso dal vuoto. Infatti gli angoli di rifrazione saranno diversi a seconda della lunghezza d'onda.
Questo effetto non è tuttavia osservabile utilizzando una normale lastra di vetro con le facce parallele. L'effetto della dispersione sarebbe osservabile in maniera minima solo all'interno della lastra, al di fuori infatti i colori si ricombinerebbero nella luce bianca.
L'effetto è invece osservabile con un prisma di vetro come fece per primo Newton nel 1666.
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6. L'ARCOBALENO
Il fenomeno della dispersione della luce si mostra evidente nell'arcobaleno. L'arcobaleno è dovuto alla rifrazione e quindi alla conseguente dispersione della luce solare che passa attraverso le gocce di acqua. Le caratteristiche più evidenti di un arcobaleno sono i colori e la caratteristica forma ad arco. Osservando però con maggiore attenzione si scopre che:
 I colori si presentano sempre nella stessa sequenza, cioè più esterno il rosso e più interno il violetto
 L'arcobaleno è sempre dalla parte opposta del Sole rispetto a chi guarda
 L'arcobaleno si forma quando è presente una pioggia sottile in direzione opposta al Sole
Cerchiamo di scoprire il perché di queste caratteristiche.
Per prima cosa vediamo che cosa succede quando un raggio di luce incide su una goccia d'acqua che supponiamo sferica.
Il raggio di luce colpisce la goccia d'acqua con un generico angolo di incidenza (misurato rispetto alla normale al piano tangente alla goccia e quindi al raggio) i. Il raggio si rifrange con angolo r, dopo di che compie un'ulteriore riflessione all'interno della goccia e una rifrazione da acqua ad aria, uscendo quindi con angolo i rispetto alla normale. Indichiamo quindi con φ l'angolo compreso tra il raggio di andata, entrante nella goccia e il raggio di ritorno, uscente dalla goccia. L'angolo di incidenza potrà ovviamente variare tra 0° e 90°, l'angolo di rifrazione si può calcolare conoscendo l'indice di rifrazione dell'acqua applicando la legge di Snell. Si può poi dimostrare geometricamente che l'angolo φ è legato agli angoli i e r dalla relazione φ = 2i – 4r.
Nella tabella seguente sono mostrati i valori che assume l'angolo φ al variare dell'angolo i.
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Si può notare abbastanza facilmente che l'angolo φ assume un massimo che vale circa 42°. I calcoli sono stati effettuati prendendo 1,33 come valore dell'indice di rifrazione. Come abbiamo però detto in precedenza questo valore dipende dalla lunghezza d'onda della luce incidente. All'interno della goccia d'acqua si avrà quindi dispersione e mentre la luce rossa (n = 1,330) uscirà con un angolo compreso tra 0° e 42,6°, la luce violetta (che ha n = 1,337) uscirà con un angolo compreso tra 0° e 40,6°. Si può inoltre notare che il valore massimo di φ si ha per un angolo di circa 60° ma anche che tutti i raggi che incidono sulla goccia con angoli compresi tra 50° e 70° vengono rifratti ad angoli molto simili all'angolo massimo.
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Immaginiamo quindi di rappresentare su uno schermo perpendicolare ai raggi del sole la luce rifratta da una singola goccia d'acqua. Come mostrato nella seguente figura la luce rossa sarà compresa in un cono di semiampiezza 42,6°, la luce violetta in un cono di semiampiezza 40,6°. Sullo schermo vedremmo quindi una serie di cerchi concentrici corrispondenti ai vari colori. All'interno del cerchio più interno dovremmo essere in grado di percepire la luce di tutti i colori e quindi la luce bianca. All'esterno invece non dovrebbe arrivare luce.
Per vedere l'arcobaleno è quindi necessario stare con le spalle al Sole e osservare, in direzione opposta al Sole, una zona in cui sta piovigginando. Colpita dalla luce del Sole ogni goccia di acqua dà luogo a raggi di tutti i colori, ciascuno dei quali forma un ben preciso angolo massimo con la direzione del raggio solare.
L'osservatore vede una luce rossa provenire dalle gocce che sono a circa 42° rispetto alla direzione dell'ombra della sua testa. L'insieme di queste gocce forma nel cielo un arco di luce rossa. In modo analogo, la luce violetta proviene dalle gocce che sono a circa 40° rispetto alla direzione dell'ombra dell'osservatore. Questo spiega perché l'arco rosso sovrasta sempre l'arco violetto. Fra le due bande, violetta e rossa, si formano gli archi degli altri colori dell'iride. L'interno dell'arco, per quanto detto in precedenza, è attraversato dalla luce dei vari colori, mentre all'esterno non giungono raggi di luce rifratti dalla goccia. Per questo motivo l'interno dell'arcobaleno è sempre molto più luminoso dell'esterno.
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Appunti concessi dal prof.Lippi
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